Materiais das aulas de teoria das carteiras

Aqui estão os slides, com um pouco de atraso, das 3 aulas teóricas sobre teoria das carteiras. Mais embaixo, vocês poderão encontrar um texto didático sobre o assunto.

Lembro que após a prova teremos uma aula prática no laboratório e vocês devem assistir ao vídeo para otimizar as suas carteiras, para que possamos discutir na aula prática.

Bons estudos e bons investimentos!

Conteúdo: diversificação e seleção de carteiras em geral. Tipos de retornos. Variabilidade dos retornos. Características das carteiras. Mensuração do risco. Otimização de carteiras. Efeito da diversificação. Críticas ao modelo de Markowitz.

Teoria das carteiras from Felipe Pontes

1 INTRODUÇÃO À TEORIA DAS CARTEIRAS DE MARKOWITZ

O mercado de capitais é o mais relevante para o desenvolvimento econômico de um país, pois ele é “o grande municiador de recursos permanentes para a economia” (ASSAF NETO, 2006, p.75), consequentemente, as empresas que nele negociam seus títulos, são as mais importantes para o desenvolvimento econômico (ROSS; WESTERFIELD; JAFFE, 2002), pois possibilitam a canalização da poupança dos agentes superavitários para investimentos produtivos de grande porte, pois terão uma grande quantidade de sócios, e que criem emprego e renda para a população, bem como a circulação de numerário e investimentos estrangeiros.

É por meio do mercado de capitais que os agentes superavitários e deficitários se interrelacionam e o primeiro financia as necessidades de longo ou médio prazo, para capital de giro ou fixo, do segundo, com a maior segurança que o mercado pode oferecer. Em contrapartida, os agentes superavitários recebem juros, dividendos ou ganham capital com a valorização dos títulos das companhias nas quais eles investiram sua poupança.

Esse mercado vem se desenvolvendo substancialmente desde o século passado, por todo o mundo, no Brasil a partir da década de 1970. Por este motivo, é sobremaneira importante que existam pesquisas sobre a alocação de capital da forma mais racional possível. Nesse sentido, esse paper trata de um dos conceitos da área de finanças mais discutidos: a teoria das carteiras, com foco na Moderna Teoria das Carteiras, doravante MPT.

A MPT, assim como a Moderna Teoria de Finanças (MTF) surgiu na década de 1950 (EID JR, 1999). Antes do desenvolvimento dessa teoria, por Markowitz (1952; 1958), os agentes superavitários da época analisavam seus prováveis investimentos pelos retornos esperados para o futuro. Por não se pensar, até aquela época, que as decisões financeiras deveriam estar voltadas para o futuro, sendo o futuro incerto, Markowitz revolucionou a academia e o mercado adicionando um componente de risco à análise dos ativos.

Essa teoria é apoiada em duas hipóteses básicas de investimentos em ambientes de incerteza: (a) os investidores têm aversão ao risco; e (b) as taxas de retorno têm distribuição normal. A segunda hipótese, principalmente, tem uma implicação prática muito importante para o modelo. Porque se os retornos têm distribuição normal, isso implica dizer que o retorno esperado pode ser mensurado pela média, enquanto que o risco poderá ser medido pela variância, ou outra medida de dispersão – não perdendo conteúdo informativo, segundo Markowitz (1952). Essas duas hipóteses e as outras subjacentes à Teoria e ao modelo serão abordadas de forma mais analítica mais à frente.

Para falar em Teoria das Carteiras, importa saber o que é risco, pois, conforme comentado no parágrafo anterior, a adição do risco à análise dos ativos para seleção dos que iriam compor a carteira foi a grande contribuição de Markowitz (1952) à moderna teoria financeira. O risco está ligado à incerteza, porém em um sentido restrito. Com isso, é importante diferenciar o risco da incerteza. Bodie e Merton (2002) dizem que a incerteza existe sempre que não se sabe ao certo o que vai acontecer no futuro. O risco é a incerteza que “importa”, porque afeta o bem-estar das pessoas. Assim, a incerteza é uma condição necessária, mas não suficiente para o risco. Toda situação de risco é incerta, mas pode haver incerteza sem risco.

Exemplificando esse fato, um investidor compra ações de uma companhia que tem um segmento de extração de recursos minerais e outro de tratamento desses recursos. O investidor aplica nessa empresa na expectativa de que o mercado que compra os recursos minerais sem o tratamento cresça muito nos próximos 10 anos. No ano seguinte, há alguns boatos sobre a venda do segmento de tratamento de recursos minerais. Isso gera incerteza ao mercado e ao investidor, individualmente, porém não é considerado como sendo um fato de risco por ele, visto que o investimento foi feito com a esperança de que o setor de extração de recursos pudesse crescer, recuperando assim seu investimento. O problema nisso é que, em um primeiro momento, a incerteza poderá fazer com que o mercado absorva a informação como perda de receita e lucro. Porém, no longo prazo, a empresa poderá investir melhor seus esforços em algo que gerará mais riqueza para os seus acionistas: a extração de recursos.

Dessa forma, no ambiente empresarial e nas decisões de alocação de recursos para investimentos de pessoas físicas, existem algumas maneiras de se reduzir o risco dos investimentos. Alguns deles também limitam muito o retorno, outros tentam maximizar o retorno, minimizando também o risco (conforme o foco da teoria das carteiras).

A pessoa (referindo-me às jurídicas e físicas) poderá, por exemplo, simplesmente, evitar o risco. Dessa forma, como veremos à frente, também evitará um bom retorno, visto que as duas medidas são, teoricamente, interrelacionadas. Porém, existem riscos que não podem ser evitados, principalmente se a pessoa é um trader, do mercado de capitais, e não deseja descontinuar essa sua atividade, nesse caso, o risco de um crash, como o da Bolsa de Nova Iorque não poderá ser evitado por ele; ou o impacto de uma outra crise, ou bolha financeira.

Se a pessoa decidir por não evitar o risco, ela poderá se prevenir e controlar as perdas (traçando uma estratégia de perda máxima, eg, usando stop loss), reter o risco (analisando bem o seu risco, a pessoa poderá optar por assumi-lo, visto que o evento tem uma baixa probabilidade de ocorrência, como ocorre com algumas pessoas que optam por não ter plano de saúde) ou transferi-lo. Para transferir o risco, a pessoa poderá fazer, hedging, seguro ou diversificar seu investimento. O foco desse paper é na diversificação e o seu efeito nos investimentos.

Bodie e Merton (2002) dizem que diversificar é portar quantidades similares de ativos de múltiplo risco em vez de concentrar todos os recursos em um único ativo. Porém, mais que isso, segundo a Teoria das Carteiras, que tem como trabalho seminal o de Markowitz (1952), diversificar não é apenas investir em diferentes ativos. É preciso investir em ativos que não sejam positivamente correlacionados, ou correlacionados o mínimo possível. Isso faz com que a queda de um, teoricamente, não implique na queda do outro, restando apenas, como fator de risco, a parte que não pode ser diversificada: o risco sistemático, do mercado.

Markowitz (1952) utilizou a noção de risco para compor carteiras para investidores que consideram o retorno esperado algo desejável e a variância do retorno algo indesejável. O que parece bem lógico e sensato para a grande maioria dos investidores. O modelo mostra que enquanto o retorno de uma carteira diversificada equivale à média ponderada dos retornos de seus componentes individuais, sua volatilidade será inferior à volatilidade média de seus componentes individuais. Mostrando que a diversificação é uma espécie de dádiva.

Contudo, apesar da elegância, a teoria de Markowitz é extremamente dispendiosa, quanto à sua implementação prática. Isso porque o investidor deverá estimar o retorno esperado e a variância de todos os ativos que ele desejar analisar e os têm como prováveis componentes da carteira. Além disso, há de se calcular a covariância entre esses ativos, por pares. Sanando boa parte desses problemas operacionais, Sharpe (1964) desenvolveu o modelo de fator único que analisa a relação dos ativos que irão compor a carteira com um índice do mercado, e posteriormente, seu trabalho junto com o de Lintner (1965) e Mossin (1966), cada um deles de forma individual, deu origem ao Capital Asset Pricing Model – CAPM.

Conforme Sharpe, Alexander e Bailey (1995), o CAPM reduz a situação a um caso extremo: todos têm a mesma informação e concordam com as previsões futuras sobre o comportamento dos ativos. Isto significa que os investidores analisam e processam a informação da mesma forma, levando os preços a uma situação de equilíbrio constante. Essa afirmação, hoje, pode ser criticada pelos mesmos fatores associados à Hipótese de Mercado Eficiente, pelas finanças comportamentais, principalmente, e pela presença de insiders.

Como em todo modelo teórico, o de Markowitz também está sujeito à diversas críticas. Em resumo, elas estão centradas na questão de que os retornos não seguem qualquer distribuição simétrica (Gaussiana ou normal), a correlação entre os ativos não é fixa, podendo variar dependendo de eventos externos, especialmente em situações de crise – quanto a isso, Thomé Neto, Leal e Almeida (2011) dizem que existem também evidências contrárias a essa crítica. Afora isso, centram-se também nas críticas à Hipótese de Mercado Eficiente e à irracionalidade de alguns investidores. Os críticos à essa proposta questionam se ela é uma estratégia de investimento realmente ideal, tendo em vista essas e outras críticas que serão apresentadas em momento oportuno nesse trabalho.

2 SELEÇÃO DE CARTEIRAS E A TEORIA DE MARKOWITZ

            A existência de risco implica dizer que o investidor não pode associar um simples número ou payoff com o investimento em qualquer ativo. O payoff deve ser descrito por um conjunto de resultados e cada um deles deve ser associado com a sua probabilidade de ocorrência, chamado de função frequência ou distribuição dos retornos. Nessa seção, discorrer-se-ão sobre os dois atributos mais frequentemente usados como distribuição: uma medida de tendência central, chamada de retorno esperado, e uma medida de risco ou dispersão em torno da média,chamada de desvio padrão. Isso porque a Teoria das Carteiras trata essencialmente da composição de uma carteira ótima de ativos, tendo por objetivo central maximizar a utilidade dos investidores, pela relação média-variância.

            Investidores não podem e, de fato, não mantém apenas um ativo; eles mantêm grupos ou carteiras de ativos. Um importante aspecto dessa análise é que o risco sobre o portfólio é mais complexo do que a simples média do risco dos ativos individuais. Isso depende se os retornos sobre os ativos individuais tendem a se mover juntos ou se alguns ativos dão bons retornos quando outros ativos dão retornos ruins. Como será evidenciado no desenvolvimento dessa seção, poderá haver uma grande redução de risco na manutenção de uma carteira de ativos se eles não se moverem perfeitamente na mesma direção. Essa foi a grande contribuição de Markowitz para a teoria das finanças.

            Para desenvolver sua teoria, Markowitz (1952) parte da premissa de que o retorno esperado é algo desejável e que a variância dos retornos é algo indesejável, pois pressupõe o risco. Ele ilustra, geometricamente, as relações entre “crenças” e “escolhas” da carteira de acordo com o trade-off risco-retorno, ou, como ele se refere em seu paper: expected returns-variance of returns.

            Markowitz diz que os investidores deveriam diversificar suas carteiras, de modo a ter o retorno máximo esperado, sendo assegurado pela Lei dos Grandes Números, que o retorno atual da carteira será quase o mesmo que o seu retorno esperado (baseado em um número grande de observações); implicando dizer que uma carteira que gere o maior retorno esperado com a menor variância deverá ser indicada ao investidor. Contudo, a Lei dos Grandes Números não pode ser aceita porque os retornos dos ativos são muito intercorrelacionados, fazendo, assim, com que a variância não seja completamente eliminada. Para tanto, é necessário diversificar com ativos que não sejam correlacionados.

            Markowitz cita o desvio padrão, o desvio quadrado médio, o coeficiente de variação e variância, como sendo medidas de dispersão que poderão ser utilizadas como proxies para o risco. Todavia, diversos autores citam que a medida mais utilizada para estimar o risco de uma carteira é o desvio padrão (BODIE; MERTON, 2002; ROSS; WESTERFIELD; JAFFE. 2002; ASSAF NETO, 2002), porém a utilização de uma ou outra medida não irá fazer a diferença na análise. A carteira permanecerá dentro ou fora da fronteira eficiente, usando qualquer uma das medidas.

Posto isto, o objetivo básico do estudo de carteiras de ativos, de acordo com a moderna teoria das carteiras é selecionar a carteira definida como ótima, com base no critério de investimento proposto pela relação risco-retorno, ou seja:

·         Deve-se selecionar a carteira que oferece o maior retorno possível para um determinado grau de risco; ou

·         Selecionar a carteira que produza o menor risco possível para um determinado nível de retorno esperado.           

Aqui foi feita uma breve introdução com um resumo das ideias básicas de Markowitz, que serão mais discutidas nas subseções seguintes.

2.1 Determinando o retorno esperado

            O conceito de média está arraigado em nossa cultura. Analisando os jornais, os canais televisivos, sempre nos deparamos com esse conceito em figuras como o lucro médio das empresas, a média de determinado tipo de ocorrência policial em um mês, a média de gols da rodada do campeonato brasileiro etc. A média é uma medida intuitiva. Dessa forma, o retorno médio de um ativo qualquer será chamado, a partir desse ponto de “retorno esperado”, expressão utilizada pelos estatísticos, pesquisadores e traders.

            Se a probabilidade dos retornos for igual, para se calcular os retornos basta somá-los e dividir pela quantidade de observações. Se as probabilidades forem distintas, basta multiplicar cada retorno pela sua probabilidade e somar os resultados. Dessa forma, o retorno esperado é expresso da seguinte maneira: colocar equação da página 22 do fichamento.

A grande contribuição de Markowitz foi o reconhecimento de que os investimentos estavam sujeitos a um risco associado a eles. E esse risco, segundo a teoria de Markowitz deveria ser medido pela dispersão dos retornos observados em torno da média, ou retorno esperado.

            Intuitivamente, para se saber a dispersão do retorno observado em torno da média, bastaria analisar a diferença entre eles, chamada de desvio (retorno observado – retorno esperado). Contudo, essa medida é problemática, visto que alguns desvios são positivos, outros negativos ou zero, e a soma deles tenderá a cancelar uns aos outros. Isso pode ser observado na tabela abaixo. 

Se pegarmos, por exemplo, o ativo 1, diminuindo os retornos observados do retorno esperado e somando as diferenças, encontraremos a medida igual a zero e a soma das diferenças dos retornos observados em torno da média não nos dirá nada sobre a dispersão desses retornos.

            Para sanar esse problema, Elton e Gruber (1995) sugerem duas soluções:

1.      Simplesmente ignorar os sinais negativos dois desvios e somá-los; ou

2.      Encontrar os quadrados dos desvios.

Se o analista apenas ignorar os sinais negativos, ele estará multiplicando por -1, para trocar os sinais negativos por positivos, de apenas uma parte dos desvios, deixando a outra intacta; o que não seria muito correto. A segunda opção dada pelos autores é a mais utilizada e aceitável, matematicamente, já que estaríamos fazendo a mesma operação com todos os números.

O segundo procedimento é, de fato, o mais adequado, conforme afirmam os autores: quando portfólios são considerados, o último procedimento é geralmente o mais adequado (ELTON; GRUBER, 1995). Essa segunda opção dada por eles, que é o quadrado dos desvios, é chamada de variância e a raiz quadrada da variância é o desvio padrão.

Tomando como base a tabela anterior, a variância do ativo 1 é igual à soma dos quadrados dos desvios e é igual a: (14-10)² + (10-10)²+(6-10)² = 32. Logo, a variância é 32/3 = 10,7, aproximadamente. E o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância = 3,3.

Se a probabilidade de ocorrência do evento não for igual, então a variância é encontrada da seguinte forma, apenas multiplicando os desvios ao quadrado pela sua respectiva probabilidade de ocorrência.

A variância nos mostra que o ativo 3 varia mais em torno da média que o ativo 2. Isso poderia ter sido visto, intuitivamente, apenas analisando os retornos médios. Porém, na análise feita na vida real, existem muitos ativos e muitas outras situações, então para resumir todos os dados, é preferível que se analise o retorno esperado e a variância ou desvio padrão.

Existem diversas outras medidas de dispersão ou risco. O Value at Risk (VaR) é uma delas. O VAR é amplamente utilizado pelos bancos para medir a sua exposição a eventos adversos e medir a menor perda que se poderá esperar com uma certa probabilidade.

Com base nessas medidas que resumem o comportamento dos retornos e do risco (dispersão dos retornos em torno da média), os investidores poderão tomar suas decisões. Com base na tabela anterior, por exemplo, um investidor racional escolheria o ativo 2, por exemplo, em detrimento do ativo 1, pois o retorno de 2 é maior, com um desvio padrão menor, bem como escolheria o ativo 2, em detrimento do ativo 3, que apesar de ter o mesmo retorno, apresenta maior dispersão, ou seja: risco.

2.3 Variância de uma combinação de ativos

            Apesar de todo o trabalho de se selecionar uma carteira, os investidores racionais não aplicam seus recursos de forma total em um único ativo. Eles fazem uma combinação de diversos ativos, com diversos riscos e retornos distintos. Essa é a razão de se estudar a teoria das carteiras, avaliar o impacto nos investimentos, por meio da relação risco-retorno (média-variância). E a análise dessa relação não é apenas focada na média dos riscos dos ativos (apesar de o ser nos retornos). Para se encontrar o risco da carteira, exige-se um trabalho um pouco mais árduo e os resultados encontrados podem ser muito satisfatórios, podendo-se encontrar, inclusive, riscos menores do que os ativos individuais, em uma carteira.

1.4  Fronteira eficiente

O investidor racional deverá escolher aquela combinação que maximiza o retorno esperado para um menor nível possível de risco ou, em outras palavras, a que promove o menor risco para um dado retorno esperado. As alternativas de investimento que atendem a essa orientação são aquelas dispostas ao longo do segmento MW e são denominadas por Markowitz de eficientes.

1.4  Críticas ao modelo de Markowitz

            A Moderna Teoria das Carteiras sugere diversos pressupostos sobre os investidores e os mercados de capitais. Alguns deles são explícitos, nas equações, como o uso de distribuições normais para modelar os retornos; enquanto outros são mais implícitos, como a negligência feita para com os tributos e os custos de transação. Nenhum desses pressupostos sugeridos são verdade absoluta, assim como em todo modelo teórico, há de se relaxar algumas pressuposições. Contudo, eles comprometem o conteúdo prático advindo da utilização da teoria, em algum grau (BRODIE et al, 2009).

Porém essas críticas não significam, per si, que os modelos serão inviabilizados. Não poderia ser diferente com o modelo de Markowitz, que recebe críticas por diversas simplificações feitas para a prática.

Abaixo serão evidenciadas as principais críticas encontradas:

·         Investidores estão interessados em maximizar a média, dada uma variância: na realidade, os investidores têm funções de utilidade que podem ser sensíveis aos momentos mais elevados da distribuição de retornos. Para o investidor usar a otimização risco-retorno (mean-variance), deve-se supor que a combinação da utilidade e retornos fazem a otimização do problema utilidade similar ao problema de otimização da média-variância;

·         Retorno do ativos são distribuídos (em conjunto) normalmente: é observável frequentemente, que os retornos em ações ou outros mercados não são distribuídos normalmente. Grandes oscilações (3 a 6 desvios padrão da média) ocorrem muito mais frequentemente do que o pressuposto da distribuição normal poderia prever (MANDELBROT; HUDSON, 2004). O modelo pode ser ampliado para qualquer distribuição elíptica, porém elas são simétricas e os retornos dos ativos, historicamente, têm-se mostrado assimétricos;

·         Correlações entre os ativos são fixas e constantes para sempre: esse pressuposto pode ser criticado pois situações econômicas podem fazer com que a correlação entre ativos mude ao passar do tempo. Isso é muito comum em situações de crise financeira, onde todos, ou a maioria dos ativos, tendem a ser positivamente correlacionados. Isso porque as perspectivas futuras não são boas, então elas tendem a cair em conjunto. No caso, por exemplo, hipotético de duas ações em uma mesma carteira, onde as duas dependem do governo local para um projeto que irá determinar seus lucros futuros. Apenas uma delas poderá ter decisão favorável, se elas eram positivamente correlacionadas, agora passarão a ser negativamente correlacionadas, nem que seja por um curto espaço de tempo;

·         Todos os investidores são racionais e com aversão ao risco: esse é um outro pressuposto da HME, contudo, há evidências hoje que os participantes do mercado não são racionais. Ela não permite o “efeito manada” ou investidores que aceitam retorno mais baixo para um risco mais alto, por exemplo. E a partir do desenvolvimento das finanças comportamentais, é cada vez mais difundida a ideia de que o investidor têm aversão à perda e não ao risco;

·         Todos os investidores têm acesso à mesma informação ao mesmo tempo: o mercado real contém assimetria informacional, insider trading, e, simplesmente, pessoas com informações melhores que outras. Em um trabalho recente, Martins e Paulo (2012) analisaram uma amostra de 32 ações do IBrX-100, encontrando uma alta probabilidade de negociação com informação privilegiada, expressa pelo modelo mais utilizado, atualmente, no mundo para identificar a prática do insider information. Além disso, os autores encontraram que a inclusão dessa variável, como proxy para a assimetria informacional, adicionava conteúdo informativo à avaliação daquelas empresas de forma positiva. Ou seja, quanto maior a assimetria, mais retorno os investidores exigiam;

·         Os investidores têm uma concepção precisa dos retornos possíveis, ie, as crenças de probabilidade do investidores corresponde à verdadeira distribuição dos retornos: uma diferente possibilidade é que as expectativas dos investidores são enviesadas, formando os preços das ações com ineficiências informacionais. Essa é mais uma das possibilidades estudadas no campo das finanças comportamentais, que usa os pressupostos da psicologia para fornecer alternativa ao CAPM, como o modelo de precificação de ativos baseado em excesso de confiança (overconfidence-based asset pricing model) de Daniel, Hirshleifer e Subrahmanyam (2001);

·         Não existem tributos ou custos de transação: os produtos financeiros reais são sujeitos tanto aos tributos, quantos aos custos de transação (emolumentos, corretagens, custódia etc). Levando-os em consideração, o investidor poderá alterar a composição de uma carteira ótima. Esse pressuposto é relaxado em versões mais desenvolvidas do modelo – VER O CAPM QUE CONSIDERA ISSO;

·         Todos os investidores são tomadores de preços, ie, suas ações não influenciam os preços: na realidade, as vendas suficientemente grandes ou compras de ativos individuais podem mudar os preços de mercado para esse ativo e outros. Um investidor não pode mesmo ser capaz de montar a carteira teoricamente ideal, se o mercado se move muito, enquanto eles estão comprando os seus ativos. Por exemplo, se o investidor Warren Buffett compra ações de uma empresa que não é muito visada pelo mercado, é provável que os investidores passem a olhar essa empresa com outros olhos, visto que um dos maiores investidores do mundo passou a investir naquela empresa, como foi evidenciado há alguns anos;

·         Qualquer investidor pode emprestar e tomar dinheiro emprestado em uma quantidade ilimitada à taxa livre de risco;

·         todos os ativos podem ser divididos em parcelas de qualquer tamanho;

·         as preferências por determinado risco e retorno mudam ao longo do tempo, para um determinado investidor, porém a teoria não aborda isso: os mecanismos e motivos para essas mudanças não são abordados na teoria. Em vez disso, ela abrange o problema de como fazer a escolha entre as alternativas financeiras a fim de maximizar as preferências declaradas. De um modo geral, a escolha ótima envolve avaliar a compensação entre receber um retorno esperado mais elevado e assumir um risco maior;

·         o número de cálculos necessários é muito alto, crescendo muito a cada inclusão de um novo ativo.

 

1.5  O modelo de índice único de Sharpe (1961)

O modelo de Markowitz (1952) necessita de um número muito elevado de informações e cálculos para ser aplicado. Bruni e Famá (1998) citam um trabalho de Sharpe, em 1961, que determinou que o melhor computador da época necessitaria de 33 minutos para otimizar uma carteira de 100 ativos, a um custo de US$ 300,00, o que inviabilizava testes e simulações.

Elton e Gruber (1995) dizem que a maioria das instituições financeiras seguem entre 150 e 250 ações, nos EUA. Dessa forma, para empregar o modelo de Markowitz, a IF precisaria estimar o mesmo número de retornos esperados e variâncias. Para as correlações, esse número aumenta ainda mais. Sabendo que N é o número de ativos, então seriam N*(N-1)/2 correlações. Por exemplo, para 100 ativos, a quantidade de correlações a serem calculadas seria de 100*99/2=4.950.

Essa dificuldade de operacionalizar o modelo de Markowitz levou Sharpe (1963) a desenvolver um modelo bem mais simples, que é conhecido como Modelo de Índice Único (single-index model). A suposição básica de Sharpe ao criar o modelo não era a de que os retornos entre os ativos estariam correlacionados entre si, mas sim com um índice único, este representativo dos retornos de todo o mercado onde transacionamos. Para este modelo, ao se relacionar os retornos de cada ativo com o retorno do mercado, estar-se-á, indiretamente, relacionando os retornos dos ativos entre si. Isso pode ser observado por meio de relações causais do preço das ações. Quando o mercado sobre, a maioria das ações tende a crescer também, e quando o mercado decresce, as ações também tendem a decrescer. Dessa forma, o retorno de uma ação deve ser expresso da seguinte maneira:

Onde a_i é o componente do retorno do ativo i que é independente da performance do mercado – uma variável aleatória; Rm é a taxa de retorno do índice do mercado – uma variável aleatória; Bi é uma constante que mensura a mudança esperada em Ri dada uma mudança em Rm.

Essa equação simplesmente quebra o retorno de uma ação em dois componentes, onde uma é devida ao mercado e a outra não. O beta é uma medida que diz quão sensível é o retorno do ativo ao retorno do mercado.

O termo ai representa o componente do retorno que é independente do retorno do mercado. Ele pode também ser dividido em duas partes. O alfai é o valor esperado de ai, e o ei é elemento que representa a incerteza, ele é aleatório.

O ei tem valor esperado zero. Dessa forma, podemos reescrever a equação do retorno da ação da seguinte maneira:

É conveniente falar que o erro e o Rm não covariam:

Se o ei e o Rm não são correlacionados, isso implica que a equação do Ri, acima dessa última, descreve o retorno de qualquer ativo de forma independente do retorno do mercado (ELTON; GRUBER, 1995). Os parâmetros desse modelo devem ser estimados por meio de uma regressão de série temporal.

O pressuposto básico desse modelo é que o erro de um ativo é independente do erro de outro para qualquer valor, mais formalmente: E(ei,ej)=0. Isso implica que a única razão que faz os preços das ações variarem juntas, sistematicamente, é porque há um co-movimento com o mercado.

Resumindo, os pressupostos são:

1.      O erro padrão da regressão tem valor esperado igual a zero;

2.      Que o erro e o Rm não são correlacionados;

3.      E que o erro de um ativo é independente do erro de um outro ativo.

A partir desses pressupostos, Sharpe (1963) deriva as três equações representativas do retorno esperado, variância do retorno e covariância entre os retornos dos ativos:

A partir destes resultados, voltando-se à equação fundamental para retorno esperado de uma carteira de ativos e substituindo-se pelos termos derivados pelo modelo de Sharpe, tem-se:

Da mesma forma, voltando-se à equação fundamental para variância de um portfólio de ativos, substituindo-se pelas equações derivadas pelo modelo de Sharpe, e fazendo-se as devidas simplificações:

            Dessa forma, espera-se diminuir consideravelmente o número de cálculos efetuados para a obtenção de um portfólio “ótimo”.